Würfel

Der Würfel (von deutsch Wurf, weil er in Würfelspielen geworfen wird; auch gleichseitiges Hexaeder, von griech. hexáedron, „Sechsflächner“, oder Kubus, von lat. cubus, „Würfel“) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein (dreidimensionales) Polyeder (Vielflächner) mit

  • sechs (kongruenten) Quadraten als Begrenzungsflächen
  • zwölf (gleichlangen) Kanten und
  • acht Ecken, in denen jeweils drei Begrenzungsflächen zusammentreffen

Der Würfel ist ein spezielles (dreidimensionales) Parallelepiped (Parallelflach), ein spezieller (nämlich gleichseitiger) Quader sowie ein spezielles gerades quadratisches Prisma. Die Größe eines Würfels wird bereits durch die Angabe der Kantenlänge festgelegt.

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Seiten sind untereinander gleichartig – ist der Würfel ein reguläres Polytop. Er hat

  • drei vierzählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten),
  • vier dreizählige Drehachsen (durch zwei diagonal gegenüberliegende Ecken),
  • sechs zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier diagonal gegenüberliegender Kanten) und
  • neun Spiegelebenen (sechs Ebenen durch jeweils vier Ecken, drei Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte)

und ist

  • punktsymmetrisch (zum Mittelpunkt).

Sketchup Würfel 01

In Sketchup lässt er sich am einfachsten durch Extrusion eines Quadrats gewinnen. Natürlich kann man auch die Kanten zeichnen. Aber warum so umständlich?

Mit der Extrusion einzelner Seiten des Würfels erhält man Quader unterschiedlicher Poroportionierung.

Sketchup Würfel 02

Der Würfel enthält sehr viele regelmäßige Körper, wie zum Beispiel den Tetraeder in unterschiedlichsten Varianten. Die durch Subtraktion oder Durchdringung mit anderen Körpern zu gewinnenden Varianten sind äußerst vielfältig und oft sehr überraschend! Hier ein kleines Beispiel, der Sterntetraeder.

Sketchup Würfel 03

Die Seitenhalbierenden zweier gegenüber liegender Seiten reichen für die folgende Konstruktion aus.

Sketchup Würfel 04

So schnell wird der erste Tetraeder konstruiert.

Sketchup Würfel 05

Aber erst der zweite bringt die Überraschung!

Das Sterntetraeder oder der Keplerstern ist ein achtstrahliger Stern. Es handelt sich um einen vielflächigen Körper, der durch Verschmelzung zweier punktsymmetrischer Tetraeder  entsteht. Entdeckt und benannt durch Johannes Kepler (daher der Name „Keplerscher Stern“) im Jahr 1609 ist dies sowohl das einfachste reguläre zusammengesetzte Polyeder  als auch das einfachste nicht-konvexe gleichmäßige Polyeder.

Die äußeren Eckpunkte des Körpers beschreiben einen Würfel, während die Schnittmenge der beiden Tetraeder ein Oktaeder darstellt, dessen Kanten wiederum die Innenkanten des Sterntetraeders darstellen.

Der Grafiker M. C. Escher hat das Sterntetreaeder als Motiv für das Bild Doppelplanetoid verwendet: Das eine Tetraeder hat die Form einer von Menschen bewohnten Burg, während das andere eine mit dem ersten durchdrungene, von Dinosauriern bewohnte Welt darstellt.