Polyeder

Ein Polyeder (auch Vielflach, Vielflächner oder Ebenflächner) ist ein Teil des dreidimensionalen Raumes, der ausschließlich von geraden Flächen (Ebenen) begrenzt wird, beispielsweise ein Würfel oder ein Tetraeder. Beispiele für Polyeder aus dem Alltag sind (in ihrer üblichen Bauweise) Schränke, Pyramiden, Häuser, Kristalle  oder Spielwürfel. Keine Polyeder sind Kugeln, Kegel, Flaschen, Tortenstücke, da sie krumme Randflächen besitzen. Die wichtigsten Polyeder in der geometrischen Anwendung sind Quader, Prismen, Pyramiden und Spate (Parallelepipede).

Bekannt sind auch Polyeder, die sich durch eine hohe Regelmäßigkeit auszeichnen, wie die platonischen Körper – die einzigen fünf konvexen Polyeder, die sich nur aus kongruenten (deckungsgleichen) Vielecken zusammensetzen und deren Ecken alle identisch sind. Wird im Gegensatz dazu die Kongruenz der Seitenflächen nicht erfüllt und es sind mehrere Flächentypen vorhanden, ist der Körper entweder ein Prisma, Antiprisma oder einer der 13 archimedischen Körper. Die konvexen Polyeder, die durch regelmäßige Vielecke begrenzt sind und nicht in eine der vorherigen Kategorien fallen, sind die 92 Johnson-Körper.

Eine weitere Gruppe regelmäßiger konvexer Polyeder sind die 13 catalanischen Körper, deren nicht regelmäßige Flächen alle kongruent sind und gleichermaßen im Körper auftauchen.

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Platonische Körper

Die platonischen Körper (oder regulären Polyeder) sind die nach dem griechischen Philosophen Platon benannten fünf besonders regelmäßigen konvexen  Polyeder  (Vielflächner), die dadurch charakterisiert sind, dass ihre Seitenflächen zueinander kongruente regelmäßige Vielecke sind, von denen in jeder Ecke jeweils gleich viele zusammentreffen. Sie werden deswegen auch reguläre oder regelmäßige Körper genannt.

Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen eines platonischen Körpers, so erhält man (mit den Verbindungslinien als Kanten) wieder einen platonischen Körper, und zwar mit demselben Mittelpunkt. Dieser Körper wird als Dualkörper zum Ausgangskörper bezeichnet.

Ihre Namen stammen aus dem Griechischen und beziehen sich auf die Anzahl ihrer Flächen:

  • Tetraeder (Vierflächner aus vier Dreiecken)
    Sketchup Polyeder Tetraeder Platon
  • Hexaeder (Sechsflächner bzw. Würfel aus sechs Quadraten)
    Sketchup Polyeder Hexaeder
  • Oktaeder (Achtflächner aus acht Dreiecken)
    Sketchup Polyeder Oktaeder
  • Dodekaeder (Zwölfflächner aus zwölf Fünfecken) und
    Sketchup Polyeder Dodekaeder
  • Ikosaeder (Zwanzigflächner aus zwanzig Dreiecken).
    Sketchup Polyeder Ikosaeder

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Die archimedischen Körper

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Die catalanischen Körper

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Die Johnson-Körper

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